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Archiv - Oberseminar Computational Mathematics
Wintersemester 2011/2012
08.11.2011 Dr. Eduardo Sáenz-de-Cabezón (Universidad de la Rioja, Logroño, Spain)
Algebraic Analysis of System Reliability
Abstract
The analysis of system reliability can be performed using the algebra of monomial ideals. It is an example of the application of commutative algebra techniques to industrial problems that can be modelled with probability theory.
In this short introduction we give an idea of what algebraic tools are used, the advantages and drawbacks of this method, some results and directions of future work.
21.12.2011 (Mittwoch) Prof. Dr. Sebastian Petersen (Universität Kassel)
Die Hilbert-Eigenschaft von Teilungskörpern
kommutativer algebraischer GruppenAbstract
Hilbert-Körper spielen in der modernen Galoistheorie eine zentrale Rolle. Zahlkörper (und allgemeiner: über dem Primkörper endlich erzeugte unendliche Körper) sind Beispiele für Hilbert-Körper. Sei nun K ein Hilbert-Körper. Gewisse Permanenzprinzipien implizieren, dass K dann auch viele unendlich algebraische Erweiterungen hat, die hilbertsch sind. Z.B. ist nach einem klassischen Resultat von Kuyk jede abelsche Galois-Erweiterung L von K hilbertsch, selbst
wenn [L : K] = 1. Insbesondere ist nach dem Kuyk’schen Satz der Körper K(1), der durch Adjunktion der Torsionspunkte der multiplikativen Gruppe Gm(K) = K entsteht, hilbertsch.
Moshe Jarden hat die Frage aufgeworfen, ob man in dieser Aussage die multiplikative Gruppe Gm durch andere kommutative algebraische Gruppen ersetzen darf. Diese Frage wurde in Arbeiten
von Fehm, Jarden und dem Vortragenden abschließend geklärt. Zum Beispiel stellt sich heraus, dass für jede abelsche Varietät A=K sogar jeder Zwischenkörper von K(Ators)=K hilbertsch
ist. Dabei ist K(Ators) der Körper, der aus K durch Adjunktion der Koordinaten aller Teilungspunkte von A entsteht. Die Beweise benutzen den Diamantensatz von Haran, Unabhängigkeitssätze
für Familien `-adischer Galois-Darstellungen von Serre und Sätze aus der Theorie `-adischer Lie-Gruppen.
10.01.2012 Dipl.-Math. Markus Lange-Hegermann (RWTH Aachen)
Thomas Decomposition of Differential Systems
Abstract
Algorithmic differential algebra is an important tool for deciding properties and for ma-nipulation of systems of differential equations. It has numerous applications; for example in symbolical and numerical solving, in deciding properties of dynamical systems, and in quantitative investigating of solution sets.
In this talk, I present the Thomas decomposition, which is concerned with systems of non-linear (partial) differential equations and inequations. It splits these systems into so-called simple subsystems and thereby partitions the set of solutions. I will motivate and introduce the properties of simple systems and demonstrate their use in some examples.
17.01.2012 Herr Arno Fehm (Universität Konstanz)
Galoisdarstellungen und Hilberts Irreduzibilitätssatz
Abstract
Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz besagt, dass jedes irreduzible Polynom f 2 K[X; Y ] über einem Zahlkörper K eine irreduzible Spezialisierung f(x; Y ) 2 K[Y ] besitzt. Körper K, die diese in Zahlen- und Galoistheorie wichtige Eigenschaft erfüllen, nennt man hilbertsch. Es stellt sich die Frage, welche Erweiterungen eines hilbertschen Körpers wieder hilbertsch sind.
Sei K ein hilbertscher Körper, und für jede Primzahl ` sei eine Galoisdarstellung ` : GK ! GLn(Q`) gegeben, wobei GK die absolute Galoisgruppe von K und Q` ein algebraischer Abschluss von Q` ist. Diese Familie von Galoisdarstellungen (`)` definiert eine Erweiterung L von K, nämlich den Fixkörper von T` ker(`).
Für Galoisdarstellungen auf dem Tate-Modul einer abelschen Varietät über einem Zahlkörper K hat Jarden gezeigt, dass jeder Zwischenkörper von L=K hilbertsch ist. In diesem Vortrag wird ein allgemeineres Resultat vorgestellt, welches unter anderem impliziert, dass diese Aussage auch für beliebige Familien von Galoisdarstellungen (`)` wie oben über einem beliebigen
hilbertschen Körper K gilt.
